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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.4. Dada la función f(x)=exf(x)=e^{x}. Se pide:
a) Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 centrado en x=0x=0.

Respuesta

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:

P4(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+f(4)(0)4!x4 P_4(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4

Y ahora es muy fácil, no? Porque sólo tenemos que derivar exe^x =P

- f′(x)=ex f'(x) = e^x - f′′(x)=ex f''(x) = e^x - f′′′(x)=ex f'''(x) = e^x - f(4)(x)=ex f^{(4)}(x) = e^x Y cuando evaluamos cada término en x=0 x = 0 : - f(0)=e0=1 f(0) = e^0 = 1 - f′(0)=e0=1 f'(0) = e^0 = 1 - f′′(0)=e0=1 f''(0) = e^0 = 1 - f′′′(0)=e0=1 f'''(0) = e^0 = 1 - f(4)(0)=e0=1 f^{(4)}(0) = e^0 = 1

¡Listo! Reemplazamos en la estructura de nuestro polinomio de Taylor:

P4(x)=1+x+12!x2+13!x3+14!x4 P_4(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4
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